Qué os parecen estas sandías? Aquí en América todo es XXL.
domingo, 20 de julio de 2014
lunes, 14 de julio de 2014
Great Circle
El domingo que pasé en el DC hace unas semanas estuve visitando el museo Smithsonian del Aire y el Espacio. Es ridiculamente grande, así que es imposible verlo todo en un día, a no ser que seas de los que sólo ojean las fotos en las revistas. Desgraciadamente no es mi caso, así que apenas me dió tiempo a visitar un tercio del museo. Sin embargo pude disfrutar plenamente de una sección dedicada a la navegación, un tema muy interesante del que hoy en día se ocupa enteramente la ectrónica (uno de muchos), pero que durante prácticamente toda la historia de la humanidad fue considerado un conocimiento de muchísima importancia en el desarrollo de un país, especialmente durante los siglos de los grandes descubrimientos geográficos (países con salida al mar, fundamentalmente). Una técnica dominada por unos pocos a tal extremo que incluso llegó a ser considerado un arte.
Uno de mis entretenimientos a bordo de un avión suele ser observar en la pantalla el mapa que te permite seguir la ruta del avión en todo momento. Cuando cruzaba el Atlántico en Febrero me llamó la atención que la línea trazada sobre el mapa por el avión no era una línea recta entre Madrid y Nueva York, como un ignorante de los temas cartográficos como yo puede suponer inicialmente si pretende usar la ruta más corta. En cambio aparecía un arco cóncavo hacia el norte tal que así:
En mi estupidez, yo me preguntaba por qué el avión no seguía una trayectoría recta, de rumbo fijo, algo así:
Resulta que paseando por el museo apareció la respuesta a mi pregunta:
La Tierra es un geoide, es decir única en su especie. Para su estudio matemático se suele aproximar a figuras geométricas conocidas con una descripción conocida y más o menos sencilla. La aproximación más burda es una esfera, si uno se quiere poner más fino debe recurrir a un elipsoide, pero yo de momento con una esfera tengo de sobra. En la superficie de una esfera no existen las líneas rectas, te pongas como te pongas, pues se trata de un espacio no euclídeo (un recuerdo de la infancia: http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Euclides#Axiomas). En geometrías no euclídeas las rectas se sustituyen por geodésicas y en el caso de la esfera, una geodésica es la única circunferencia que se puede trazar entre dos puntos de la superficie no antipodales y cuyo centro coincide con el centro de la esfera. También se conoce como Gran Círculo. El arco de menor longitud entre los dos puntos a través del Gran Círculo es la distancia más corta entre ambos.
Para dos puntos en el ecuador, el Gran Círculo se corresponde con el paralelo 0, es decir, el mismo ecuador, y por tanto para viajar entre Libreville (capital de Gabon) (0.397903, 9.456827) y Quito (-0.149938, -78.472807) un avezado navegante y uno novato coincidirían en mantener rumbo fijo siguiendo el ecuador hacia el Oeste. Proyectando dicho viaje en un mapa que utilice la proyección más común, la tranversal de Mercator (que utiliza google maps con ligeras modificaciones) correspondería a una línea recta. Hasta aquí todo bien. Sin embargo, a medida que nos movemos hacia los polos, el efecto del gran círculo se vuelve más dramático. Propongo un pequeño ejercicio mental, imaginar sobre un mapa cual sería el itinerario escogido si quisiera viajar desde Reykjavik, en Islandia ( 64.124202, -21.835188), a Anchorage en Alaska (61.187037, -149.911475) por la ruta más corta en términos de distancia, puede utilizarse google maps para situar las ciudades en el mapa. Ahora puedes comprobar cual es la solución correcta introduciendo las coordenadas anteriores en esta web que calcula por ti el Gran Círculo entre dos puntos de la Tierra.
http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html
¿Sorpresa? Probablemente si has utilizado un mapa para trazar la ruta habrás caido en mi trampa y hayas metido la pata como yo. Imaginalo sobre el globo terráqueo y verás las tonterías que hace nuestro cerebro.
Esto es lo que ocurre cuando tratamos de proyectar sobre un espacio euclídeo una superficie que no lo es. Cuando se proyecta la superficie terrestre sobre un plano, sólo se puede cumplir una de las siguientes propiedades:
- Conservar distancias
- Conservar áreas
- Conservar formas
Es imposible no cometer alguno de estos errores y por tanto los mapas terrestres se hacen especificamente con el objetivo de mantener sin errores alguna de las propiedades anteriores, en función de lo cual hablamos de proyecciones equidistantes, equivalentes o conformes respectivametne.
La proyección universal de Mercator es una proyección cilíndrica conforme, y fue muy popular (y aún lo es) durante los siglos de la exploración marítima pues permite trazar las rutas de rumbo constante como líneas rectas. Sin embargo no mantiene ni distancias ni la proporción entre areas, exagerando las superficies de latitudes elevadas (el famoso caso de Groenlandia que se parece a África cuando en realidad es mucho más pequeño). Hay un artículo muy interesante en wikipedia acerca de la misma.
Curiosamente, cuando se viaja mantienendo la misma longitud, el gran círculo no difiere del rumbo constante, y es que todos los meridianos son en sí grandes circulos, al contrario que los paralelos.
Espero que hayais disfrutado leyendo tanto como yo lo hicé escribiendo, nos vemos en la próxima.
Uno de mis entretenimientos a bordo de un avión suele ser observar en la pantalla el mapa que te permite seguir la ruta del avión en todo momento. Cuando cruzaba el Atlántico en Febrero me llamó la atención que la línea trazada sobre el mapa por el avión no era una línea recta entre Madrid y Nueva York, como un ignorante de los temas cartográficos como yo puede suponer inicialmente si pretende usar la ruta más corta. En cambio aparecía un arco cóncavo hacia el norte tal que así:
En mi estupidez, yo me preguntaba por qué el avión no seguía una trayectoría recta, de rumbo fijo, algo así:
Resulta que paseando por el museo apareció la respuesta a mi pregunta:
La Tierra es un geoide, es decir única en su especie. Para su estudio matemático se suele aproximar a figuras geométricas conocidas con una descripción conocida y más o menos sencilla. La aproximación más burda es una esfera, si uno se quiere poner más fino debe recurrir a un elipsoide, pero yo de momento con una esfera tengo de sobra. En la superficie de una esfera no existen las líneas rectas, te pongas como te pongas, pues se trata de un espacio no euclídeo (un recuerdo de la infancia: http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Euclides#Axiomas). En geometrías no euclídeas las rectas se sustituyen por geodésicas y en el caso de la esfera, una geodésica es la única circunferencia que se puede trazar entre dos puntos de la superficie no antipodales y cuyo centro coincide con el centro de la esfera. También se conoce como Gran Círculo. El arco de menor longitud entre los dos puntos a través del Gran Círculo es la distancia más corta entre ambos.
Para dos puntos en el ecuador, el Gran Círculo se corresponde con el paralelo 0, es decir, el mismo ecuador, y por tanto para viajar entre Libreville (capital de Gabon) (0.397903, 9.456827) y Quito (-0.149938, -78.472807) un avezado navegante y uno novato coincidirían en mantener rumbo fijo siguiendo el ecuador hacia el Oeste. Proyectando dicho viaje en un mapa que utilice la proyección más común, la tranversal de Mercator (que utiliza google maps con ligeras modificaciones) correspondería a una línea recta. Hasta aquí todo bien. Sin embargo, a medida que nos movemos hacia los polos, el efecto del gran círculo se vuelve más dramático. Propongo un pequeño ejercicio mental, imaginar sobre un mapa cual sería el itinerario escogido si quisiera viajar desde Reykjavik, en Islandia ( 64.124202, -21.835188), a Anchorage en Alaska (61.187037, -149.911475) por la ruta más corta en términos de distancia, puede utilizarse google maps para situar las ciudades en el mapa. Ahora puedes comprobar cual es la solución correcta introduciendo las coordenadas anteriores en esta web que calcula por ti el Gran Círculo entre dos puntos de la Tierra.
http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html
¿Sorpresa? Probablemente si has utilizado un mapa para trazar la ruta habrás caido en mi trampa y hayas metido la pata como yo. Imaginalo sobre el globo terráqueo y verás las tonterías que hace nuestro cerebro.
Esto es lo que ocurre cuando tratamos de proyectar sobre un espacio euclídeo una superficie que no lo es. Cuando se proyecta la superficie terrestre sobre un plano, sólo se puede cumplir una de las siguientes propiedades:
- Conservar distancias
- Conservar áreas
- Conservar formas
Es imposible no cometer alguno de estos errores y por tanto los mapas terrestres se hacen especificamente con el objetivo de mantener sin errores alguna de las propiedades anteriores, en función de lo cual hablamos de proyecciones equidistantes, equivalentes o conformes respectivametne.
La proyección universal de Mercator es una proyección cilíndrica conforme, y fue muy popular (y aún lo es) durante los siglos de la exploración marítima pues permite trazar las rutas de rumbo constante como líneas rectas. Sin embargo no mantiene ni distancias ni la proporción entre areas, exagerando las superficies de latitudes elevadas (el famoso caso de Groenlandia que se parece a África cuando en realidad es mucho más pequeño). Hay un artículo muy interesante en wikipedia acerca de la misma.
Curiosamente, cuando se viaja mantienendo la misma longitud, el gran círculo no difiere del rumbo constante, y es que todos los meridianos son en sí grandes circulos, al contrario que los paralelos.
Espero que hayais disfrutado leyendo tanto como yo lo hicé escribiendo, nos vemos en la próxima.
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